Первым делом необходимо добавить необходимые ДНС записи для нужного домена, для этого проще произвести автоматическую настройку домена, по инструкции: Автоматическая настройка доменов

Далее необходимо внести изменения на своем Google сайте:
Заходим на https://sites.google.com, переходим по ссылке на нужный сайт, кликаем по:

в открывшемся меню, переходим по ссылке "Управления сайтом", на открывшейся странице в меню слева переходим по ссылке "Веб адрес".
В поле "Добавление веб адреса", вводим адрес своего домена, который желаете прикрепить к сайту, в виде "www.mysite.ru", ВАЖНО: адрес вашего домена должен начинаться ТОЛЬКО с www.
Нажимаем кнопку вверху "Добавить".

Все на этом прикрепление домена к Google Site законченно, если Вы все сделали правильно, то через несколько часов(от 2-12), Ваш сайт станет доступен по новому домену.